Hoy, lunes 9 de noviembre de 2020 (bisiesto), es el día 314º del año y toca, otra vez, homenajear al irracional pi.
Ya lo hemos festejado el 14 de marzo (3/14, en formato M/DD), originalmente «Día Internacional de Pi»; devenido en el «Día Internacional de las Matemáticas» a partir del 2020.
También se lo recuerda el 22/7 (en formato DD/M), fecha conocida como «Día de pi arquimediano», dado que fue Arquímedes quien logró aproximarse al valor de pi expresándolo por medio de una fracción.
Y el día 314º es otro de los de aproximación a pi, como el 22/7.
Vamos, pues, a homenajear a pi en su día escorpiano. ¿Cómo? Esta vez, cortando pizzas y tortas en partes iguales. ¿Te animas?
Pizzas
Esta es la más fácil y para dividirla en partes iguales despreciaremos cálculo alguno.
También despreciaremos la altura, que se presume uniforme en toda su extensión.
Esto aplica para todos los casos presentados: sólo tomaremos para el cálculo su vista superior o planta. Es decir, trabajaremos con SUPERFICIES; no con volúmenes.
Trazamos cuatro rectas, perpendiculares dos a dos, a 45° una de otra. Nos queda la pizza dividida en 8 sectores circulares iguales $(\boldsymbol{N=8})$.
Esto ya está estandarizado. Es de uso común, excepto cuando nos viene una pizza que no tiene las ocho aceitunas; ahí está nuestro ingenio de por medio para dividirla en menos porciones (o cortar las aceitunas) y dejar conformes a todos.
Este método es aplicable para toda producción culinaria cilíndrica cuya altura no supere los $¿3\;cm?$ Después se complica: el centro tiende a despedazarse. Tampoco es recomendable si el diámetro supera los $30\;cm$: las porciones serían enormes.
Tortas
Para evitar que este tipo de delicias se despedace en el centro solemos recurrir a cortar uno o dos círculos concéntricos. El intríngulis es determinar cuál debe ser el radio de cada círculo y cuántas porciones queremos obtener para que las mismas resulten de igual superficie (y, por ende, también volumen).
En una primera instancia, definiremos a $N$ como la cantidad total de divisiones de la pieza; $n$, la cantidad total de divisiones del círculo central (casi siempre es igual a uno); $S_N$, la superficie total de la torta; $S_n$, la superficie del círculo central; $R$, el radio mayor y $r$, el radio menor.
Con todos estos datos procederemos a sacar el valor de $r$.
$$
\begin{aligned}
S_{N}=&\;\pi\cdot R^2\\
S_{n}=&\;\pi\cdot R^2 \cdot \frac{n}{N}\;\wedge\\
S_{n}=&\;\pi\cdot r^2 \;\Rightarrow\\
r=&\;\sqrt{\frac{S_n}{\pi}}\\
r=&\;\sqrt{\frac{\pi \cdot R^2 \cdot n}{\pi\cdot N}}
\end{aligned}$$
\begin{aligned}
S_{N}=&\;\pi\cdot R^2\\
S_{n}=&\;\pi\cdot R^2 \cdot \frac{n}{N}\;\wedge\\
S_{n}=&\;\pi\cdot r^2 \;\Rightarrow\\
r=&\;\sqrt{\frac{S_n}{\pi}}\\
r=&\;\sqrt{\frac{\pi \cdot R^2 \cdot n}{\pi\cdot N}}
\end{aligned}$$
$$\boldsymbol{r=\sqrt{\frac{n}{N}} \cdot R}$$
La fórmula así obtenida (donde, curiosamente, no interviene $\pi$) nos servirá para aplicarla, adaptándola, en los ejemplos presentados a continuación.
Por una cuestión práctica, se estima conveniente planificar los cortes de cada corona circular en potencias de 2, tal como se estila en la pizza $(2^3=8)$.
Tortas con un círculo central y una corona circular
Para una torta de $20\;cm$ de diámetro, tendremos:
$R=10\;cm;\;n_1=1;\;n_2=16\;$$\text{y}\;$$N=17$.
$R=10\;cm;\;n_1=1;\;n_2=16\;$$\text{y}\;$$N=17$.
Procedemos a calcular $r$:
$$
\begin{aligned}
r=&\;\sqrt{\frac{n_{1}}{N}} \cdot R\\
=&\;\sqrt{\frac{1}{17}} \cdot 10\;cm\\
=&\;2.42\;cm
\end{aligned}$$
\begin{aligned}
r=&\;\sqrt{\frac{n_{1}}{N}} \cdot R\\
=&\;\sqrt{\frac{1}{17}} \cdot 10\;cm\\
=&\;2.42\;cm
\end{aligned}$$
Obtenemos que para dividir esa torta en 17 porciones de igual superficie tendremos que trazar un círculo de $4.84\;cm$ de diámetro.
Dichas porciones estarán conformadas por la del círculo central $n_1$ y las 16 de los trapecios circulares de la corona $n_2$.
(Algunos tendrán porciones con guindas y otros con crema. Pero esto puede solucionarse si el corte lo hacemos por la mitad de las guindas de la corona circular. La porción central es para el homenajeado: así dicen).
Tortas con un círculo central y dos coronas circulares
Para una torta de $20\;cm$ de diámetro, tendremos:
$R=10\;cm;\;n_1=1;\;n_2=8;\;n_3=16\;$$\text{y}\;$$N=25$.
$R=10\;cm;\;n_1=1;\;n_2=8;\;n_3=16\;$$\text{y}\;$$N=25$.
Procedemos a calcular $r_1$:
$$
\begin{aligned}
r_{1}=&\;\sqrt{\frac{n_{1}}{N}} \cdot R\\
=&\;\sqrt{\frac{1}{25}} \cdot 10\;cm\\
=&\;2\;cm
\end{aligned}$$
\begin{aligned}
r_{1}=&\;\sqrt{\frac{n_{1}}{N}} \cdot R\\
=&\;\sqrt{\frac{1}{25}} \cdot 10\;cm\\
=&\;2\;cm
\end{aligned}$$
Ahora, $r_2$, teniendo en cuenta que deberemos sumar $n_1+n_2$:
$$
\begin{aligned}
r_{2}=&\;\sqrt{\frac{(n_{1}+n_2)}{N}} \cdot R\\
=&\;\sqrt{\frac{9}{25}} \cdot 10\;cm\\
=&\;6\;cm
\end{aligned}$$
\begin{aligned}
r_{2}=&\;\sqrt{\frac{(n_{1}+n_2)}{N}} \cdot R\\
=&\;\sqrt{\frac{9}{25}} \cdot 10\;cm\\
=&\;6\;cm
\end{aligned}$$
Obtenemos que para dividir esa torta en 25 porciones de igual superficie tendremos que trazar un círculo de $4\;cm$ de diámetro y otro de $12\;cm$.
Dichas porciones estarán conformadas por la del círculo central $n_1$, las 8 de los trapecios circulares de la corona $n_2$ y las 16 de los trapecios circulares de la corona $n_3$.
(Nuevamente se presenta el tema de las guindas y se agrega el de la crema de cobertura lateral de la corona $n_2$: todo no se puede).
Recuerdos de un año atrás
Éxodo sabalero
El sábado 9 de noviembre de 2019 el pueblo sabalero respondió como ningún otro sobre la tierra. Jamás, pero jamás de los jamases, un equipo que terminó perdiendo la final opacó a los ganadores. Fue gracias a su maravillosa hinchada y su amor por los colores de la camiseta. Y la interpretación de "Soy sabalero" por Los Palmeras dio la vuelta al mundo.
Hinchada porteña
Y como no me iba a perder el partido, mientras disfrutaba de las imágenes en compañía de mi benjamín, me dispuse a cortar la torta que aparece en la foto siguiente, cuyo diámetro era de $20\;cm$.
La misma fue cortada según he detallado antes; habiendo tomado $N = 1 + 16 = 17$ (un círculo central y 16 trapecios circulares en la corona. Nótese que está al costado la regla de acrílico con la cual medí el diámetro del círculo central).
La edad que hoy cumplo, curiosamente, es el menor número primo (y único de dos dígitos) cuyo reverso es un cuadrado perfecto.
¡A divertirse en el «Día de $\boldsymbol{\pi}$»!
Deja tu opinión o consulta:
Puedes utilizar código $\mathrm{\LaTeX}$ para insertar fórmulas en los comentarios. Simplemente tendrás que encerrar el código entre signos $\boldsymbol{\$}$.