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lunes, 3 de febrero de 2020

Un pulpo como ábaco binario

La verdad es que este molusco de ocho tentáculos nació (fue tejido) en los albores del 2020, luego de que surgieran muchas fórmulas matemáticas alusivas a dicho año en diversas redes sociales.

Una de esas fórmulas fue la que me inspiró: la del español Sergio Castro, más conocido como @profesor10mates.

El tuit partía de un «Feliz $\boldsymbol{x^{4}}$» y luego lo desarrollaba, dando como resultado 20 20 en romanos.


Año XX XX

Aunque matemáticamente incorrecto, gracia no le falta. Y los abrumadores petardos de medianoche (a lo cual hubo que agregarle maullidos y ladridos desaforados), hicieron que coja aguja y lana a modo de escape y me imaginé el pulpo, ya que se forman las cuatro equis del tuit al cruzar sus ocho tentáculos. (Me declaro una tejedora compulsiva de volúmenes en croché a base de fórmulas matemáticas).



Diversos métodos para contar en binario

Días después, un excelente hilo de Manuel, @aprobandomates, explicaba cómo contar en binario con los dedos de la mano.


Y pensé en el pulpo (sólo que en vez de diez dedos tiene ocho tentáculos). Y me puse a jugar con él… ¿¡Para qué!? Lo convertí en un ábaco.

El máximo número en binario: 255



Si todos los tentáculos están extendidos, obtendremos 255 en decimal: sumamos todos los valores de las potencias decrecientes de dos (desde 7 hasta 0).

$$
\begin{aligned}
11111111_{2}=&\;\underbrace{1\cdot 2^{7}}_{128}+\underbrace{1\cdot 2^{6}}_{64}+\underbrace{1\cdot 2^{5}}_{32}+\underbrace{1\cdot 2^{4}}_{16}+\nonumber\\
&\;\underbrace{1\cdot 2^{3}}_{8}+\underbrace{1\cdot 2^{2}}_{4}+\underbrace{1\cdot 2^{1}}_{2}+\underbrace{1\cdot 2^{0}}_{1}\nonumber\\
=&\;255_{10}
\end{aligned}$$



Supongamos ahora que queremos componer 60 en binario. Vamos a ir sumando los valores contenidos en los monomios de los tentáculos, en forma decreciente, hasta "completar" la cifra deseada. Si con un valor nos "pasamos", ese tentáculo equivaldrá a un cero; y procederemos con el siguiente hasta completar la suma polinómica.

$$
\begin{aligned}
60_{10}=&\;\underbrace{1\cdot 2^{5}}_{32}+\underbrace{1\cdot 2^{4}}_{16}+\underbrace{1\cdot 2^{3}}_{8}+\nonumber\\
&\;\underbrace{1\cdot 2^{2}}_{4}+\underbrace{\color{#cc0000}{0\cdot 2^{1}}}_\color{#cc0000}0+\underbrace{\color{#cc0000}{0\cdot 2^{0}}}_\color{#cc0000}0\nonumber\\
=&\;111100_{2}
\end{aligned}$$


Dado que es un ábaco circular, si cambiamos el inicio del "conteo", el resultado también cambia:

$$
\begin{aligned}
111001_{2}=&\;\underbrace{1\cdot 2^{5}}_{32}+\underbrace{1\cdot 2^{4}}_{16}+\underbrace{1\cdot 2^{3}}_8+\nonumber\\
&\;\underbrace{\color{#cc0000}{0\cdot 2^{2}}}_{\color{#cc0000}0}+\underbrace{\color{#cc0000}{0\cdot 2^{1}}}_{\color{#cc0000}0}+\underbrace{1\cdot 2^{0}}_{1}\nonumber\\
=&\;57_{10}
\end{aligned}$$


Aquí, otra posible "lectura":

$$
\begin{aligned}
100111_{2}=&\;\underbrace{1\cdot 2^{5}}_{32}+\underbrace{\color{#cc0000}{0\cdot 2^{4}}}_\color{#cc0000}0+\underbrace{\color{#cc0000}{0\cdot 2^{3}}}_\color{#cc0000}0+\nonumber\\
&\;\underbrace{1\cdot 2^{2}}_{4}+\underbrace{1\cdot 2^{1}}_{2}+\underbrace{1\cdot 2^{0}}_{1}\nonumber\\
=&\;39_{10}
\end{aligned}$$

Aplicaciones prácticas



Construcción del ábaco

Vistas frontal y trasera



Antes de empezar

Materiales necesarios: lana para amigurumis; aguja para croché (usé una 3 1/2); alfileres de gancho o similar para marcar puntos (casi siempre, el primero de una carrera, para evitar confusiones); guata o similar para el relleno. Opcional: elementos para agregarle boca y ojos.

El amigurumi está diseñado para ser tejido en una sola pieza, sin cortar la lana (excepto cuando se termina).

Si jamás has tejido al croché, te sugiero que leas: Croché, esferas y matemáticas, donde se explica en detalle cómo dar los primeros pasos.


Utilizando la planilla mencionada en dicha entrada, se partió de una muestra de tejido de 10 centímetros; que para la lana empleada abarca 16 puntos. Si la esfera la hacemos de 12 vueltas, nos da un diámetro máximo (en ancho) de 4.5 cm para la cabeza del pulpo.

Tomaremos como base de la cabeza del pulpo las primeras ocho vueltas de dicha esfera. Luego, iremos manejando las disminuciones para darle la forma "alargada" de la parte inferior del cuerpo.

Ello es posible gracias a una aproximación, fácil y sencilla, mediante un esquema a escala, aprovechando que la figura a tejer goza de simetría especular y sección circular.

Partimos de las primeras ocho vueltas de la esfera, y vamos dibujando el resto a mano alzada (a partir de la vuelta 9, inclusive). Sobre ese contorno (cuyos valores en puntos por vuelta nos falta averiguar), vamos haciendo marquitas aproximadas al alto de cada punto (ya contenidas en las vueltas de la esfera que hemos tejido), tipo Arquímedes con el 22/7.

Unimos puntos a izquierda y derecha (en realidad, estaremos trazando los diámetros de la sección circular de cada vuelta). Vemos que algunos valores se corresponden, en vertical, con la parte de la esfera ya tejida. Sólo uno nos queda fuera de rango: el de la vuelta 11 (que, según el dibujo, nos da unos 3.5 cm de diámetro).

Sabemos que, por ejemplo, los 23 puntos del diámetro de la esfera equivalen a 4.49 cm. Por regla de tres tenemos que:

$$
\begin{aligned}
\text{vuelta }11& = \frac{3.5 \text{ cm }\cdot 23\text{ puntos}} {4.49\text{ cm}}\\
& \approx 17.9\text{ puntos}\\
& \approx 18\text{ puntos}
\end{aligned}$$


Detalle de su construcción

«Glosario»

Punto: medio punto o punto bajo.

Vuelta: carrera, fila, hilera.

Aumento: se tejen dos puntos en una cadena de la base (de un punto salen dos).

Disminución: se tejen dos puntos en sendas cadenas de la base, cerrados juntos (de dos puntos queda uno).

Descripción vuelta a vuelta

1.a (derecho), 1.a de la esfera: 6 puntos
Empezar con seis puntos en un anillo mágico.

2.a (revés), 2.a de la esfera: 11 puntos
Hay seis puntos de base. Sobre los primeros cinco, hacer cinco aumentos (dos puntos en cada uno) y un punto en el sexto de base.

3.a (derecho), 3.a de la esfera: 16 puntos
Hay 11 puntos de base. Sobre los primeros diez puntos, hacer un punto y un aumento (cada dos puntos, quedan tres), cinco veces; terminar con un punto en el undécimo de base.

4.a (revés), 4.a de la esfera: 20 puntos
Hay 16 puntos de base. Relizar tres puntos y un aumento (cada cuatro puntos, quedan cinco), cuatro veces.

5.a (derecho), 5.a de la esfera: 22 puntos
Hay 20 puntos de base. Hacer nueve puntos y un aumento (cada diez puntos, quedan once), dos veces.

6.a (revés), 6.a de la esfera: 23 puntos
Hay 22 puntos de base. Hacer 21 puntos y un aumento (de 22 puntos, quedan 23).

7.a (derecho), 7.a de la esfera: 23 puntos

8.a (revés), 8.a de la esfera: 22 puntos
Hay 23 puntos de base. Realizar 21 puntos y una disminución (de 23 puntos, quedan 22).

9.a (derecho): 22 puntos

10.a (revés): 20 puntos
Hay 22 puntos de base. Hacer nueve puntos y una disminución (de once puntos, quedan diez), dos veces.

11.a (derecha): 18 puntos
Hay 20 puntos de base. Hacer ocho puntos y una disminución (de diez puntos, quedan 9), dos veces.

12.a (revés): 16 puntos
Hay 18 puntos de base. Realizar siete puntos y una disminución (de nueve puntos, quedan ocho), dos veces.

13.a (derecho): 16 puntos

14.a (revés): 16 puntos

15.a (derecho): 16 puntos + 8 tentáculos
Tejer un punto sobre cadena de base; 30 cadenas al aire, un punto sobre la segunda cadena al aire (no se cuenta la que queda en la aguja, que sería la cadena cero), dos puntos en cada una de las 28 cadenas al aire restantes; un punto sobre cadena de base. Repetir cinco veces, hasta completar los 16 puntos de la cadena de base (nótese que quedan "libres" las 16 cadenas de la base de los tentáculos tejidas en esta carrera). A continuación, esquema y detalle visto desde abajo.


16.a (revés): 12 puntos
Hay 16 puntos de base (dos en la base de cada tentáculo). Realizar dos puntos y una disminución (de cuatro puntos de base, quedan tres), cuatro veces. Rellenar con guata o similar.

17.a (derecho): 6 puntos
Hay 12 puntos de base. Efectuar seis disminuciones (cada dos puntos de base, queda uno). Cerrar el tejido.

Los ojos están tejidos en tres vueltas con hilo macramé y aguja 1 1/2. La primera, seis puntos en negro (usé azul porque no tenía negro); la segunda, tres aumentos en negro y otros tantos en el color que queramos tenga el ojo (usé celeste); la tercera vuelta es con punto deslizado: en negro sobre los seis del mismo color que la anterior y en blanco sobre los seis del celeste. Luego se le hace un brillito con blanco (simplemente se pasa una hebra por el lugar elegido un par de veces). La boca está bordada con lana roja.

Esta entrada participa en la Edición 6 del Año X del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es Juan Francisco a través de su blog Esto no entra en el examen.

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