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domingo, 15 de mayo de 2022

Phi en una pelota

Se me ocurrió hacer una pelota de fútbol al croché.

En un principio sólo sabía que estaba conformada por 12 pentágonos y 20 hexágonos; todos ellos regulares, cuyos lados tienen la misma longitud.

Comencé a tejer y me asaltaron las dudas: ¿qué medidas debemos tener en cuenta para la confección de esa pelota a nuestro entero gusto? ¿¿¡¡Cómo hacerle un «molde»!!??

Y aquí es donde adquiere un rol fundamental Phi ( $\boldsymbol{\varphi}$). Veamos cómo…

El dilema de la distancia máxima

En el siguiente vídeo, en axonométrica isométrica, seremos testigos de una bonita «transformación».

Partimos de un cubo y de tres planos inscritos en el mismo, ortogonales dos a dos, que guardan una proporción áurea entre sus lados; puesto que en cada plano, siendo $\boldsymbol{a}$ el lado menor y $\boldsymbol{b}$, el mayor, se cumple que:

$$\boldsymbol{\displaystyle \frac {b}{a}=\varphi =\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}=1.618\ 033\ldots}$$

Los vértices de esos planos (contenidos en las caras del cubo) son, a su vez, los 12 vértices de un icosaedro (dos vértices por cada lado del cubo).

Uniendo esos vértices generamos las 30 aristas y las 20 caras del icosaedro en cuestión.

Luego, para truncar dicho icosaedro, subdividimos cada lado en 9 triángulos equiláteros y eliminamos los de cada vértice.

Como a cada vértice concurren 5 aristas, se generan (12 x 5) 60 aristas más: 90 en total. Por otra parte, las 20 caras equiláteras quedan transformadas en hexágonos (2/3 de la superficie original) y se agregan 12 caras más: las pentagonales. Quedan 32 caras en total. Y los vértices se multiplican por 5: de 12 pasan a 60.

¿Y los planos ortogonales? Pues… ¡sus lados menores han quedado reducidos a 1/3!

¿Y la distancia máxima; es decir, el diámetro de la «pelota»? Pues… ¡¡estará dada por la longitud de la diagonal de cualquiera de los planos ortogonales!!

Las proporciones áureas

Como corolario de la axonométrica anterior, fue elaborado el siguiente cuadro comparativo…

¡¡Y las soluciones saltan a la vista!!

Primera: en base al lado (del hexágono o del pentágono; da igual: miden lo mismo). Se triplica su valor y se lo multiplica por $\boldsymbol{\varphi}$. A ello le deberíamos agregar el 2 % para obtener la longitud de la diagonal; es decir, el «diámetro» de la pelota.

Segunda: en base a la diagonal del pentágono (¡gracias, Pitágoras!). Como $\boldsymbol{\varphi}$ ya está presente en dicho valor, simplemente ¡¡lo triplicamos!! y listo. Como en el caso anterior, le deberíamos agregar el 2 %.

(He puesto en condicional el «temita» del 2 % porque, para tamaños pequeños de pelota, ese porcentaje implica solo milímetros. Aparte, tratándose de un tejido, siempre las medidas son aproximadas… porque cede).

Incluso se podría tejer «sin medidas»… Cogemos un piolín y lo cortamos conforme el diámetro que queremos para la pelota. Lo dividimos en tres (obviamos lo del 2 %): esa será la medida de una de las diagonales de cualquier pentágono de nuestra futura pelota. Empezamos a tejer un pentágono hasta que esa tercera parte del piolín coincida con la diagonal del pentágono. Nos fijamos cuántas vueltas y puntos tenemos y hacemos el resto de piezas… ¡sin medir nada!

¡Empecemos!: cómo tejer hexágonos y pentágonos

Aritmética modular «pura»: cada polígono tiene tantos puntos de lado como vueltas haya…

Se parte de un anillo de cinco puntos para el pentágono y de seis para el hexágono.

Luego, en cada vuelta, se hacen tantos puntos de aumento como lados tenga la figura.



¡Manos a la obra!: cómo coser la «pelota»

(Aclaración: La secuencia de cosido que sigue es la que mejor resultado me dio: se manipula fácilmente).

Una vez tejidas las piezas, procedemos a unir, en primera instancia, los hexágonos. Los separamos en dos grupos y unimos cada par de hexágonos por una arista. Habremos cosido 10 aristas (imagen 1).

Terminamos de unir, siempre en dos grupos, los hexágonos entre sí. Llevaremos cosidas 20 aristas (imagen 2).

Cosemos un pentágono «central» en cada grupo. Tendremos cosidas 30 aristas (imagen 3). (¡Ánimo, que faltan coser sólo dos tercios del total de aristas!).

Añadimos dos pentágonos más, uno por cada grupo. De cada pentágono cosemos 4 aristas. Ya tenemos 38 aristas (imagen 4).

Agregamos otros dos pentágonos. Habremos cosido 46 aristas (imagen 5).

Ibidem. En total, 54 aristas cosidas (imagen 6).

Ibidem. En total, 62 aristas cosidas (imagen 7).

Ibidem. En total, 70 aristas cosidas (imagen 8).

Habiendo llegado a este punto, nos resta unir de a pares las 20 aristas restantes, conforme el diagrama, a efectos de obtener la pelota.

Con respecto al relleno, lo colocaremos cuando resten por unir tres o cuatro aristas.

Como trofeo final, «selfi» de algunas de las pelotitas tejidas (imagen 9).

La primera es de dos vueltas (0.9 cm de arista); la segunda, de cuatro (1.8 cm de arista) y la tercera, de seis vueltas (2.7 cm de arista).

Como nota de color agrego que los hexágonos y pentágonos que tejí para los vídeos (con hilo de barrilete y aguja 4, a seis vueltas) prácticamente se corresponden con los de un balón FIFA (cuando se usaban los modelos basados en icosaedros truncados): la diagonal del pentágono es de 7 cm; y la normativa FIFA establece que el balón debe medir entre 68 y 70 cm de contorno. (Resulta asombroso, ¿cierto? Un par de datos y ya sabemos cómo asociarlos… ¡gracias a la presencia de $\boldsymbol{\varphi}$!).

Esta entrada forma parte del Carnaval de Matemáticas, que en esta Edición 13.2, la nonagésima novena, está organizado por Miguel Ángel Morales Medina a través de su blog Gaussianos.

A modo de corolario [24-05-2022]

Mi inquietud pudo más y he completado la pelota (casi) FIFA (cuyas primeras piezas había confeccionado en los vídeos: 7 cm de diagonal del pentágono y 4.3 cm de arista).

Fue rellenada hasta quedar esférica, sin que se vean alteradas las dimensiones de sus aristas. (Todos los modelos han sido tejidos y cosidos con hilos: macramé o de barrilete; materiales que son lo suficientemente rígidos como para evitar deformaciones).

Pues… ha quedado con casi 66 cm de contorno y 21 cm de diámetro: $3\, \varphi \, a$ «clavados».

Buscándole la quinta pata al gato (¿por qué solo $3\, \varphi \, a$?), se me ocurrió hacer otra comprobación de «esfericidad»: hallar la longitud resultante al «partir la pelota al medio»; es decir, medir el contorno de la pelota a través de los polígonos que intervienen, conforme el siguiente esquema:

Para mi asombro, la constante que multiplica a la arista para hallar el diámetro es casi igual (centésimas y milésimas de por medio) a $3\, \varphi $.

O sea, el diámetro del icosaedro truncado «esferizado» tiende al valor de cualquiera de las aristas del cubo del cual partió su construcción; que valen, exactamente, $3\, \varphi \, a$. Al menos en croché: FINAL FELIZ.

Artículos para profundizar

2 comentarios:

  1. Espectacular!!! Felicitaciones y gracias. Saludos

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    1. Gracias, gracias, gracias... a vos por apoyarme siempre. Siempre un comentario que halaga es una caricia al alma.

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